مقدمة
نقدم هنا مفهوم عينة عشوائية بسيطة، وهي أساسية لمجال الإحصاء التقليدي. يمكننا تطبيق نظرية الاحتمال لعرض العديد من الأفكار الأساسية في تحليل الإحصاء. نبدأ بفهم توزيع السكان.
توزيع السكان
السكان هو أي تجميع من الأفراد أو الكيانات، ومرتبط مع كل فرد كمية يمكن تخصيصها برقم. توزيع السكان هو توزيع تلك الكمية بين أفراد السكان. في حال كان بإمكاننا مراقبة كل فرد، يمكن تحديد توزيع السكان بشكل كامل. ولكن في كثير من الأحيان ، لا يكون ذلك عمليًا. لذا نقوم باختيار عينة عشوائية ونراقب كيف تتغير الكمية عبر العينة.
عملية العينة
نأخذ عينة بحجم ( n )، مما يعني أننا نختار ( n ) أفرادًا من السكان ونراقب الكمية المرتبطة بكل واحد منهم. تتم الاختيار بحيث يكون من الممكن اختيار أي فرد بشكل عشوائي. الهدف هو الحصول على تقريب مفيد لتوزيع السكان من خلال توزيع العينة.
المتوسط والانحراف المعياري
نرغب في تحديد معلمين هامين هما المتوسط والانحراف المعياري. إذا كانت العينة تمثل السكان بشكل جيد، فإن المتوسط والانحراف المعياري للعينة ينبغي أن يقتربان من تلك القيم للسكان. هنا يكمن سر فائدة العينة الكبيرة، حيث أن متوسط العينة يتقارب نحو متوسط السكان ولكن الانحراف المعياري يقل بنسبة (1/\sqrt{n}).
حجم العينة
في حالة معينة حيث لدينا متوسط وانحراف معياري للسكان، يمكننا حساب حجم العينة اللازم لضمان أن متوسط العينة يكون داخل مسافة محددة من متوسط السكان.
الاستنتاج
نستنتج أن حجم العينة يلعب دورًا هامًا في توفير تقريب جيد للسكان. يتيح لنا ذلك الفهم الأساسي لعملية العينة العشوائية وكيف يمكن استخدامها لتمثيل السكان بشكل فعال.